Иррациональные выражения. Преобразование иррациональных выражений
Читайте также
Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.
Внесение множителя под знак корня
Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .
Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .
Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .
Вынесение множителя из-под знака корня
Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.
За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .
На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .
Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .
Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .
В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .
Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.
Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Определение 1
Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
Основываясь на данном определении, мы имеем, что x - 1 , 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3 , 7 - 4 · 3 · (2 + 3) , 4 · a 2 d 5: d 9 2 · a 3 5 - это все выражения иррационального типа.
При рассмотрении выражения x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Пример 1
Преобразовать выражение 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Решение
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ:
9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3
Пример 2
Представить выражение x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.
Решения
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Представляем 9 в виде 3 2 , причем применим формулу разности квадратов:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
Ответ:
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1 + 6 можно заменить на 7 или 2 · a 5 4 - 6 на 2 · a 4 · a 4 - 6 . Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.
Когда не существует а 1 , отличное от a , где справедливо неравенство вида a n = a 1 n , тогда такое равенство возможно только при а = а 1 . Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.
Использование свойств корней
Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , тогда из иррационального вида 1 + 3 · 12 можно стать тождественно равным 1 + 3 · 12 . Свойство. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , где a ≥ 0 говорит о том, что x 2 + 4 4 3 можно записать в форме x 2 + 4 24 .
Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 записать не можем, так как формула a b n = a n b n служит только для неотрицательного a и положительного b . Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 7 4 81 4 .
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Определение 3Внести под знак корня – значит заменить выражение B · C n , а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1 , равным выражением, которое имеет вид B n · C n или - B n · C n .
Если упростить выражение вида 2 · x 3 , то после внесения под корень, получаем, что 2 3 · x 3 . Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.
Вынесение множителя из-под знака корня
Если имеется выражение вида B n · C n , тогда его приводят к виду B · C n , где имеется нечетные n , которые принимают вид B · C n с четными n , В и C являются некоторыми числами и выражениями.
То есть, если брать иррациональное выражение вида 2 3 · x 3 , вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2 · x 3 . Или x + 1 2 · 7 даст в результате выражение вида x + 1 · 7 , которое имеет еще одну запись в виде x + 1 · 7 .
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида (2 + 3) · x 4 x 2 + 5 3 , то числитель примет вид 5 · x 4 , а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x 2 + 5 6 . Исходную дробь можно будет записать в виде 5 · x 4 x 2 + 5 6 .
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
X + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - (- 3 · x 2 + 7 4) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 сокращаем на x + 4 3 - 1 . Получим выражение 3 · x x + 4 3 - 1 2 .
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Если взять дробь вида 2 · x - y x + y , то необходимо вводить новые переменные u = x и v = x , тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2 · u 2 - v 2 u + v . Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . После выполнения обратной замены придем к виду 2 · x - y , которое равно исходному.
Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x 3 - 1 0 , 5 · x , тогда приведем к знаменателю x . для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2 · x , тогда получаем выражение x 3 - 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 - 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 - 1 x .
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x 3 3 . После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 9 3 · x 3 .
Переход от корней к степеням
Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство a m n = a m n , то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5 - 2 3 , то иначе имеем право записать его как 5 - 2 3 . Эти выражения равнозначны.
Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни (- 8) 3 5 и (- 16) 2 4 степенями, тогда получаем, что - 8 3 5 и - 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления.
Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы .
1. Теоретические основы тождественных преобразований
Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебраические выражения.
В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения.
Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а , b , с , … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.
Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной.
Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.
В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты.
1. Свойства степеней с целым показателем:
, n ÎN; а 1=а ;
, n ÎN, а ¹0; а 0=1, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0, b ¹0;
, а ¹0, b ¹0.
2. Формулы сокращенного умножения:
где а , b , с – любые действительные числа;
Где а ¹0, х 1 и х 2 – корни уравнения .
3. Основное свойство дроби и действия над дробями:
, где b ¹0, с ¹0;
; ;
4. Определение арифметического корня и его свойства:
; , b ¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,
где а , b – неотрицательные числа, n ÎN, n ³2, m ÎN, m ³2.
1. Типы упражнений на преобразование выражений
Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип : явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.
Например.
1. Представьте в виде многочлена .
При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых.
2. Разложите на множители: .
При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения.
3. Сократите дробь:
.
При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями.
4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а ³0, b ³0, с ³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа.
5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби .
Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.
Например
6. Упростите выражение:
Решение:
.
Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения.
7. Упростить выражение:
.
Если а ³0, b ³0, а ¹b .
Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, если .
Доказательство:
Так как , то и или или или , т. е. .
Использовали условие и формулу суммы кубов.
Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в упражнениях первых двух типов.
Например.
10. Найдите , если .
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
Тема: « Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений».
Цель работы: научиться выполнять преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений с использованием формул сокращенного умножения, основных свойств корней и степеней.
Теоретические сведения.
КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.
Корень n – степени : , n - показатель корня , а – подкоренное выражение
Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а
Если n – четное число, то выражение имеет смысл при
Арифметический корень:
Корень нечетной степени из отрицательного числа:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ
Правило извлечения корня из произведения:
Правило извлечения корня из корня:
Правило вынесения множителя из под знака корня:
Внесение множителя под знак корня:
,
Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.
Правило возведения корня в степень.
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
= , a – основание степени, n – показатель степени
Свойства:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.
Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Свойства:
при r >0 > при r <0
7 . Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует
> при a >1 при
Формулы сокращённого умножения.
Пример 1. Упростите выражение .
Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .
Ответ: 9m 7 .
Пример 2. Сократить дробь:
Решение.Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.
Пример 3. Сократить дробь:
Пример 4. Упростить:
Пример 5 .Упростить:
Пример 6. Упростить:
Пример 7. Упростить:
Пример 8. Упростить:
Пример 9. Вычислить: .
Решение.
Пример 10. Упростить выражение:
Решение.
Пример 11 .Сократить дробь , если
Решение..
Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.
ВАРИАНТ - I1. Упростите выражение:
, где а -рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
,
,
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
ВАРИАНТ - II
1. Упростите выражение:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
4. Привести указанное выражение к виду
, где а- рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем
,
,
7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
1. Выполните действие:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
4. Привести указанное выражение к виду
, где а -рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем
,
,
7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
ВАРИАНТ - IV
1. Выполните действие:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
,
4. Привести указанное выражение к виду
, где а- рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить: